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확률

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2025-09-11 23:05

Tags: 수학

확률

용어설명예시 (주사위 던지기)
실험 (Experiment)결과가 불확실한 관찰이나 행위주사위 한 개를 던지는 행위
표본 공간 (Sample Space)실험에서 나올 수 있는 모든 결과의 집합{1, 2, 3, 4, 5, 6}
사건 (Event)표본 공간의 부분집합, 즉 특정 결과나 결과들의 모음’짝수가 나오는 사건’ = {2, 4, 6}
  1. 제1공리 (Non-negativity): 모든 사건의 확률은 0보다 크거나 같다.
    • P(A) ≥ 0
    • 어떤 사건이 일어날 확률이 음수(-)가 될 수는 없다는 당연한 규칙입니다.
    • 확률은 0%(절대 일어나지 않음)에서 100%(반드시 일어남) 사이의 값
  2. 제2공리 (Normalization): 표본 공간 전체가 일어날 확률은 1이다.
    • P(S) = 1 (S는 표본 공간)
    • 주사위를 던지면 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나는 ‘반드시’ 나옵니다.
    • 이처럼 실험에서 가능한 모든 결과를 합친 확률은 100%라는 의미입니다.
  3. 제3공리 (Additivity): 서로 동시에 일어날 수 없는 사건들의 합집합 확률은 각 사건 확률의 합과 같다.
    • 만약 A와 B가 서로 배반 사건(mutually exclusive, 겹치는 부분이 없는 사건)이라면, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
    • 주사위를 한 번 던져 ‘1이 나올 사건(A)‘과 ‘2가 나올 사건(B)‘은 동시에 일어날 수 없습니다.
    • 따라서 ‘1 또는 2가 나올 확률’은 단순히 (1이 나올 확률) + (2가 나올 확률)과 같습니다. (1/6 + 1/6 = 2/6)
  • 수학적 확률 (Mathematical Probability)
    • 모든 개별 결과가 나올 가능성이 동일하다고 가정할 때 사용합니다.
    • 공식: (관심 있는 사건의 경우의 수) / (일어날 수 있는 모든 경우의 수)
    • 예시: 공정한 주사위를 던져 짝수가 나올 확률은?
      • 모든 경우의 수: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6가지
      • 짝수가 나오는 경우의 수: {2, 4, 6} → 3가지
      • 확률: 3 / 6 = 1/2
  • 통계적 확률 (Statistical Probability)
    • 수학적으로 계산하기 어렵거나, 각 결과의 발생 가능성이 동일하지 않을 때 사용
    • 수많은 반복 실험(데이터)을 통해 확률을 추정합니다.
    • 공식: (특정 사건이 발생한 횟수) / (총 실험 횟수)
    • 예시: 한 야구선수의 다음 타석 안타 확률은?
      • 이 선수의 과거 1000번의 타석에서 300번 안타를 쳤다면, 다음 타석에서 안타를 칠 통계적 확률은 300 / 1000 = 0.3, 즉 3할입니다.
  • 큰 수의 법칙 :
    • 실험 횟수가 적을 때는 통계적 확률이 수학적 확률과 크게 다를 수 있지만,
    • 실험을 무수히 많이 반복하면 통계적 확률은 수학적 확률에 가까워진다는 법칙
  • 조건부 확률: 새로운 정보가 생겼을 때 ⇒ 베이즈 정리
    • 정의:
      • 사건 B가 일어났다는 조건 하에, 사건 A가 일어날 확률.
      • 기호로는 P(A|B)로 표기하며, ‘P(A) given B’라고 읽습니다.
    • 핵심 아이디어:
      • 사건 B가 일어났다는 정보를 얻는 순간, 우리의 관심 대상인 표본 공간이 전체(S)에서 B로 줄어듭니다.
    • 공식: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
  • 기댓값:
    • 어떤 확률 과정을 무한히 반복했을 때 얻을 수 있는 값의 평균.
    • 각 결과 값에 그 결과가 나올 확률을 곱하여 모두 더한 값
    • 공식: E(X) = Σ [x * P(x)]

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