2025-09-17 22:37
Tags: 수학
큰 수의 법칙
- 표본의 크기가 커질수록 표본 평균이 실제 모집단의 평균(기댓값)에 가까워지는 현상을 설명
- 표본의 크기를 충분히 늘리면 개별 사건의 불확실성이 서로 상쇄되면서 전체 결과는 특정 값(기댓값)으로 안정화
| 구분 | 약한 큰 수의 법칙 (WLLN) | 강한 큰 수의 법칙 (SLLN) |
|---|---|---|
| 수렴의 의미 | 확률 수렴 (Convergence in Probability) | 거의 확실한 수렴 (Almost Sure Convergence) |
| 설명 | 표본 크기 n이 커질수록, 표본 평균이 모평균에서 특정 오차(ε) 이상 벗어날 ‘확률’이 0에 가까워진다. | 표본 크기 n이 커질수록, 표본 평균이 모평균과 정확히 같아질 ‘확률’이 1이다. |
| 비유 | 화살을 쏠 때, 과녁 중앙에서 특정 거리 이상 벗어날 확률이 점점 줄어드는 것. (단, 한두 번 빗나갈 가능성은 여전히 존재) | 화살이 결국 과녁 중앙에 명중하고, 그 이후로는 계속 중앙에 머무는 것. (벗어날 가능성 자체가 0으로 수렴) |
| 조건 | 확률 변수들이 동일한 기댓값을 갖고, 분산이 유한하며, 서로 간의 상관관계가 약해야 한다. (상호독립은 필수 조건이 아님) | 확률 변수들이 독립적이고 동일한 분포(i.i.d.)를 따르며, 기댓값이 존재해야 한다. |
| 강도 | 상대적으로 약한 조건, 약한 결론 | 더 강한 조건, 더 강한 결론 |
- 큰 수의 법칙 (LLN): “표본 평균이 어디로 가는가?”에 대한 답. → “모평균으로 간다.”
- 중심극한정리 (CLT): “표본 평균들이 어떤 분포를 이루는가?”에 대한 답. → “정규분포를 이룬다.”