2025-09-14 00:07
기댓값
- 각 사건의 값에 발생 확률을 곱한 후 모두 더한 값으로, 어떤 확률적 사건의 평균적인 결과를 예측하는 지표
- **“어떤 확률적 사건을 무한히 반복했을 때, 평균적으로 기대할 수 있는 값”**이다.
- 확률 변수 (Random Variable, X):
- 어떤 시행에서 일어날 수 있는 각각의 결과(사건)에 해당하는 값. 예를 들어, 주사위를 던질 때 나올 수 있는 눈금 (1, 2, 3, 4, 5, 6)이 확률 변수다.
- 확률 (Probability, P(x)):
- 확률 변수의 각 값이 나타날 가능성. 공정한 주사위의 경우 각 눈금이 나올 확률은 모두 1/6이다.
- 결과값 (Value, x):
- 각 사건이 일어났을 때 얻게 되는 구체적인 보상이나 손실. 주사위 눈금만큼 상금을 받는다면, 결과값은 1원, 2원, …, 6원이 된다.
- 확률 변수 (Random Variable, X):
E(X) = Σ [ x * P(x) ] (기댓값 = 각 사건의 결과값 × 그 사건이 일어날 확률의 총합)
| 확률 변수 (X) (눈금) | 결과값 (x) (상금) | 확률 (P(x)) | x * P(x) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1원 | 1/6 | 1/6 원 |
| 2 | 2원 | 1/6 | 2/6 원 |
| 3 | 3원 | 1/6 | 3/6 원 |
| 4 | 4원 | 1/6 | 4/6 원 |
| 5 | 5원 | 1/6 | 5/6 원 |
| 6 | 6원 | 1/6 | 6/6 원 |
| 합계 | 1 | 21/6 = 3.5원 |
가. 기댓값 vs. 평균값
- 평균: 이미 일어난 사건들의 결과를 산술적으로 계산한 값이다. (과거 지향적)
- 기댓값: 앞으로 일어날 사건들의 결과에 대한 확률 가중 평균이다. (미래 지향적 예측)
나. 큰 수의 법칙 (The Law of Large Numbers)
- 큰 수의 법칙이란, 어떤 독립적인 시행을 충분히 많이 반복하면 그 결과의 평균이 기댓값에 가까워진다는 원리다.