제로섬 게임 핸드북

핵심 요약

제로섬 게임은 한쪽의 이득이 반드시 다른 쪽의 손실과 동일하게 맞춰져 총합이 항상 0이 되는 경쟁 상황을 모델링한다. 역사적 기원부터 수학적 구조, 주요 해법과 실제 응용사례, 분석·설계 방법까지 포괄적으로 다룬다.

1. 목적 및 개념

제로섬 게임은 유한 자원의 재분배 상황을 엄밀히 분석하기 위해 고안되었다.

• 모든 플레이어의 이득과 손실 합이 0으로 보존됨
• 경쟁적(strictly competitive) 상황에서 상호 상반된 이해관계 모델링
• 응용 분야: 경제·파이낸스(선물·옵션·스왑), 체스·포커·테니스 등 게임, 정책 결정, 심리학의 제로섬 사고방식

2. 역사 및 발전

1. 기원
   • 1925년 존 폰 노이만이 Game Theory 개념 도입¹
   • 1944년 노이먼·모겐스트른 “Theory of Games and Economic Behavior”에서 ‘zero-sum games’ 용어 최초 사용²
2. 수학적 정형화
   • 두 플레이어 게임: 페이오프(payoff) 행렬 $A=(a_{ij})$에서 $a_{ij}+b_{ij}=0$
   • 세 이상 플레이어 확장: 가상의 $(n+1)$번째 플레이어로 총합 조정³

3. 구조 및 해법

3.1 순수전략 vs 혼합전략

• 순수전략(pure strategy): 각 플레이어가 단일 행동 선택
• 혼합전략(mixed strategy): 확률분포에 따라 전략 혼합, 미니맥스 정리 통해 균형 도출³

3.2 미니맥스 해법

• 플레이어1은 상대 최대 손실 최소화(minimize maximum loss), 플레이어2는 최소 이득 최대화(maximize minimum gain)
• 선형계획법(linear programming)으로 최적 확률분포 계산

$$\underset{x}{\max }V\text{s.t.}\sum _i{x}_i{a}_{ij}\ge V,\sum _i{x}_i=1,x_i\ge 0$$

3.3 내시 균형

• 모든 2인 제로섬 게임은 혼합전략 내시 균형 존재
• 균형에서 게임의 가치(value) $V$는 고유

4. 분석·설계 방법론

1. 페이오프 매트릭스 구성: 참여자·행동 수 정의 후 보상·벌점 값 배치
2. 전략 공간 탐색: 순수전략 우선 평가, 우월 전략·열위 전략 제거
3. 혼합전략 모형화: 확률변수 $p_i$ 도입하여 기대값 방정식 설정
4. 선형계획 최적화: 미니맥스 문제로 변환→LP 솔버 활용
5. 결과 해석: 최적 확률분포·게임 가치·상호 반응 분석

5. 주요 응용 사례

분야	사례	특징
경제·금융	선물·옵션 거래, 이자율 스왑	한쪽의 이익은 다른 쪽 손실, 순부(純富) 변화 없음3
스포츠·게임	체스, 포커, 매칭 페니즈	완전정보 또는 불완전정보 제로섬, 순이익 보존34
정치·협상	한정 예산 배분, 선거 경쟁	자원 희소성에 따른 이해관계 대립 분석
심리학	제로섬 사고(zero-sum thinking)	상대방 희생 없이는 승리 불가로 인식하는 인지 편향

6. 활용 시 유의점

• 비제로섬 오류: 창출 가능한 가치가 존재하는 상황에 제로섬 모델 적용 시 오해 초래
• 완전정보 가정: 현실적 불완전정보·심리 요인 고려 필요
• 협력 가능성: 일부 ‘부분 제로섬’ 구조 속 협력-경쟁 혼합 가능성 탐색

7. 핸드북 사용법

1. 모델링 단계: 문제 정의 → 플레이어·자원 명시 → 페이오프 산출
2. 분석 단계: 전략 후보 도출 → 순수·혼합전략 평가 → LP 최적화
3. 결과 적용: 최적 전략 정립 → 시뮬레이션·민감도 분석 수행 → 의사결정 반영

8. 결론 및 추천

제로섬 게임은 자원 보존 경쟁 분석의 강력한 도구다. 그러나 현실에서는 비제로섬 요소가 빈번하므로, 하이브리드 모델(협력·경쟁 병행) 개발 및 불완전정보 고려를 병행할 것을 권장한다.

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Footnotes

1. https://www.dltn.io/posts/where-the-term-zero-sum-comes-from ↩

2. https://www.funtrivia.com/askft/Question148662.html ↩

3. https://en.wikipedia.org/wiki/Zero-sum_game ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

4. https://www.indeed.com/career-advice/career-development/zero-sum-game ↩