벡터(Vector)란 무엇인가?

벡터는 크기와 방향을 가지는 수치의 나열을 의미합니다. 컴퓨터 과학과 머신러닝 분야에서 벡터는 다음과 같은 특징을 가집니다.

1. 벡터의 정의

• 수열(sequence) 형태: 하나 이상의 숫자가 순서대로 나열된 형태
• 차원(dimension): 나열된 숫자의 개수. 예를 들어
  • 2차원 벡터: $$
• 3차원 벡터: $[1,-1,5]$
• n차원 벡터: $[v_1,v_2,\dots ,v_n]$

2. 벡터의 주요 개념

1. 크기(magnitude) 벡터의 길이로, 유클리드 거리 공식으로 계산

$$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2+\dots +v_n^2}$$

2. 방향(direction) 벡터가 가리키는 방향. 크기를 1로 정규화하면 단위벡터(unit vector)가 되어 순수한 방향 정보만 남음.
3. 내적(dot product) 두 벡터 간 유사도나 투영을 계산할 때 사용

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\dots +a_n{b}_n$$

4. 코사인 유사도(cosine similarity) 방향 기반 유사도 척도

$$\cos (\theta )=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert }$$

3. 머신러닝에서의 벡터 활용

• 데이터 표현: 텍스트·이미지·오디오 등의 특성을 숫자 벡터로 변환
• 유사도 계산: 벡터 간 내적 혹은 코사인 유사도로 샘플 간 관계 파악
• 차원 축소: 고차원 데이터를 주성분 분석(PCA) 등으로 저차원 벡터로 압축
• 최적화 연산: 벡터 연산(덧셈·스칼라 곱)을 통해 모델 파라미터 업데이트

4. 쉽게 떠올리기

• 화살표: 2차원 평면 위의 화살표처럼, 출발점에서 방향과 길이를 가짐
• 위치 좌표: 지도의 한 지점을 $(x,y)$ 좌표로 표현하는 것과 유사
• 속도: 차의 속도를 크기(속력)와 방향으로 나타내는 물리량

벡터는 수많은 숫자 값을 한 번에 다루면서 계산을 단순화하고, 다양한 데이터의 관계를 수학적으로 표현할 수 있게 해 주는 핵심 도구입니다.